「我知道 你和我 就像是豆漿油條 要一起 吃下去 味道才會是最好」
——林俊傑〈豆漿油條〉
數學之於經濟，彷彿豆漿之於油條。
隨手翻開現今的主流經濟學期刊，其中密密麻麻的數學式，隱藏在文字中四處亂竄的各式希臘字母 \( \alpha, \beta, \theta \) ，多到讓人不禁懷疑這是本數學期刊。不只如此，諾貝爾經濟學獎也曾出過好幾位數學家。撇開研究前緣不談，經濟學教育也離不開數學：要選修大二的個/總體體經濟學，先要有微積分的基本知識；美國各個主要的經濟學博士班，會在進入博士班一年級的那個暑假，要求所有新生選修“Math Camp”（大概可以想成是短期數學衝刺班）；甚至，各校在挑選博士班學生的時候，數學課的成績是非常重要的篩選標準。
經濟學，作為一門如此大量使用數學的學門，在人文社會科學中顯得很異類。從表面上來看，經濟學更像是物理和數學，而非同門的社會學、政治學。大量使用數學，也使得經濟學看起來更「科學」。也有一份針對諸如哈佛等經濟學名校的調查指出，有高達77%的博士生家認為經濟學是所有社會科學中「最科學的」。但經濟學界之中，也不缺乏諾貝爾獎等級的大咖出來撻伐此一現象，指名某些經濟學研究，在數學的外衣下，卻缺乏真正的經濟學洞見。
為了方便之後的討論，在接下來的段落，麻糬我先將帶讀者們無痛體驗數學在經濟學中運用方式，再簡單地分析其利與弊，並討論一個有關「假設」的常見迷思。最後，和大家聊聊經濟學近期的潮流，一個如何走出象牙塔，走向一個更科學、更實際的過程。
數學作為一種語言——以中間選民模型為例
在經濟學，數學主要是被當作一種語言來使用。用以建立經濟模型，解釋真實世界發生的現象。
關於建立模型，得先搞清楚一件事。不一定要有數學，才是一個模型。模型應該想做是一個故事，一個有關這個世界是如何運作的一套說法。而數學，所謂文以載道，只是乘載那個故事的語言。麻糬我這樣說明可能太過抽象，不如就以赫赫有名的中間選民模型作為例子吧。
不知道大家在2016大選有這樣的感覺，民進黨候選人蔡英文，越接近選舉日，立場越趨近中立，對敏感的兩岸關係議題，總是回答要「維持現狀」；而國民黨也在選前臨時換將，將極統的洪秀柱換下來，換上立場較中立的朱立倫。到最後，藍綠的立場，似乎沒什麼差別？
以上的觀察，就是中間選民模型。簡單來說（以中文來說），就是在兩位候選人在競選過程，為了牟取大部分選民的支持，會提出較為中間的政策。若是提出較為偏激的政策，像是台獨/極統，雖然能鞏固深綠/深藍，但反而會損失其餘的支持者，因小失大。所以，在選舉中，簗方候選人會提出較為中立的政見，
以上是文字版本的敘述，而中間選民模型以數學的方式寫下則會長這樣。先假設這個社會有7位選民，並把選民的依照台獨傾向照順序排排站，再依順序編編號。如下圖，越左邊的越傾向支持台獨，越右邊的則越傾向支持統一。
在這場選戰中，候選人必須聲明自己的統讀立場，作為自己的政見來吸引選民。而選民在投票時，會選擇與自己立場最接近的候選人，若兩位候選人的立場同樣接近，則隨機投給其中一位。
以上是這個模型的假設。而中間選民模型說的是：在多數決的情況下，兩個候選人會聲明相同的立場，並宣稱自己和選民4號站在同樣的立場，作為自己的政見。為什麼？
一句話：因為這是唯一合理的狀況。為何會說其他的可能性都是不合理的呢？以下就簡單地展示一下。
狀況一：兩人政見不同，比如說候選人A選擇和2號選民相同的立場，而候選人B選擇和5號選民相同的立場。
根據「選民會投給和自己立場最近的候選人」這個假設，選民1 & 2 & 3 會投給A，而選民4 & 5 & 6 & 7 會投給B，結果是候選人B獲勝。但這種情況不可能會發生。因為在狀況一下，候選人A會想要選擇和4號選民相同的立場，這樣一來，候選人一口氣可以拿到選民1 & 2 & 3 & 4的選票，贏得這場選戰。
狀況二：兩人政見相同，但並不是選擇和選民6號相同的立場。比如說兩位候選人同時選擇和選民3同樣的立場。
由於兩方政見相同，根據「若兩位候選人的立場同樣接近，則隨機投給其中一位」這個假設，所有選民都是隨機投給A或B其中一位。因此，兩位候選人勝選的機率相同，各是1/2。但與狀況一相同，這時兩方都有偏離這個狀況二的動機，因此狀況二是不合理的。像是候選人A會想要移動到4號選民的位置，這樣就能保證贏得選戰。
敵不動我不動——納許均衡
所以當我們看到這，就能知道前面這兩種情況都是不可能發生的。而扣掉狀況一二後，唯一的可能性只剩下“兩人政見相同，同時選擇和選民4號相同的立場”。
接下來將秀給大家看，在這情況下，兩方都沒有偏離原本策略的意願。
由於兩方政見相同，同狀況二的推理，根據「若兩位候選人的立場同樣接近，則隨機投給其中一位」這個假設，兩位候選人勝選的機率各是1/2。但不同的是，這時候兩方都都沒有變換策略的動機，因為一旦移動了，將會從原本1/2的勝率，變成注定的失敗。這方面就留給讀者自行推導了。
所以說當兩位候選人同時選擇和選民4號相同的立場時，兩方都沒有誘因更換策略1。這種敵不動我不動的狀況，在賽局理論中被稱為納許均衡。要注意到，雖然我們在這模型中假設這個社會只有7位選民，但讀者可以稍微驗證一下，跟著上面的邏輯，不管是7位，還是777位，還是77777位，結果都是一樣的——兩位候選人都會選擇和最中間那位選民（也就各自的中位數6，389，38889號選民）相同的立場。
數學的利與弊
好了，我們花了這麼多力氣，用數學詮釋了這個模型2，到底是為了什麼？有什麼好處？
首先，理論的敘述變得更加精確。文字版本中的預測是「兩方會提出較為中立的政策」；而在數學版本中，明確指出來，所謂的中立的政策，是指「中位數選民的偏好」。提供一個精確的描述，不只是幫助我們的理解，還能提供一個能被否證的假說。而具有能被否證的假說，正是科學精神的核心。
第二，先不管這個模型符不符合現實世界的情況，數學可以幫我們檢查一個模型本身，從假設到結論這前後，推論是否符合邏輯。在給定我們的假設之下，是不是能夠藉由數學，推論到我們宣稱的結果呢？此外，由於數學是個嚴謹的語言，以數學表達模型時，假設都會被凸顯出來。這些原本在文字版中沒被注意到的假設，通通會浮出水面。如，我們假設選民會投給與自己立場相近的候選人。
然而，有一好沒兩好，把一個模型改用數學寫下，究竟有什麼壞處呢？
首先，比起文字敘述的模型，更加簡化。精確的另一個代價便是高度的簡化。必須做大量（強）的假設，才能維持數學上的可分析性。若要維持精確，又不簡化，那整個模型會複雜到無法分析。
第二，提高技術門檻，阻礙外界人士（甚至是其他經濟學家們）參與討論。剛剛這個中間選民模型，看起來可能太親切了。那下們這個呢？
再把問題拉高一個層次，當整個經濟學家的圈子，大量使用數學時，會出現什麼問題呢？
過去，曾有個經濟理論狂飆的年代。熱潮過後，有幾位大咖開始撰文批評。包括諾貝爾獎得主Paul Krugman、紐約大學教授 Paul Romer、和史丹佛教授 Paul Pfleiderer，檢討此一現象。
其中最嚴厲的指控，便是經濟學家誤用了數學。數學不再只是個語言，而喧賓奪主，成為了一個衡量一個理論價值的指標。一個模型，只要數學性質優美3，似乎就是個好模型，而完全忽略模型本身是否能解釋資料，能否增進我們對這世界的理解。經濟學家且對於對數學本身之迷戀，使得某些經濟學家迷失在理論本身的數學性質優美與否，而非理論是否真能解釋現實世界之現象。
讓我把這些大咖的批評先擱著，以後有機會再和大家討論。讓我先來討論麻糬我個人作為一個經濟系學生，最常聽到的批評：
「經濟學的假設都太不切實際了。」
回到中間選民模型的例子，這個模型做了哪些假設呢？
- 模型中只有兩位候選人。若有三位候選人，又會怎麼樣？最近的美國共和黨初選，不就是由立場最偏激的川普贏了嗎？（延伸閱讀：How Majority Rule Might Have Stopped Donald Trump)
- 模型中，假設了選民只在乎兩岸關係。重點不在選民只關心的那個議題是什麼，而是假設了選民只在乎一個議題。而現實生活中，每個人都有自己的利益考量，選民絕對不止只在乎一個政見。
- 我們假設了每一位選民都會去投票。但現實中的投票率通常不到七成。
- 以下略。
的確，以上的假設，都很不切實際，都和現實世界相悖，都是「錯」的假設。錯，全錯，通通錯。但這樣就能說中間選民模型是個沒用的模型嗎？
“All models are wrong，but some are useful”
這時候就得搬出統計學家George Box的名言: ”All models are wrong，but some are useful.”為了能夠分析，所有模型都必須做出假設。而做出假設的同時，就也命定了一個模型必定是「錯」的，因為一個假設，必與現實有出入。但是，這些「錯」的模型，有些是有用的。有的提供一個解釋的觀點，有的幫助我們預測未來。
把一顆鉛球從101頂樓往下丟，多久會著地？這是個只要是學過牛頓第二運動定律\( F=ma \)的高中生，都能輕鬆算出的問題。就算是不考慮空氣阻力，把重力加速度用9.8代入(而不是9.80665)，得出的答案也差不了多少。雖然這個模型忽略了空氣阻力，9.8也只是個近似值而與現實不符，但依然有用處。
如果覺得地心引力這種高中習題不夠有說服力，那讓我們來談談應用更廣泛、最近正夯的機器學習。今年三月打敗世界棋王的Alpha Go，主要使用的技術是深度學習，而深度學習，說穿了就是類神經網路，一個大腦的模型。電腦科學家希望藉由模仿大腦的運作方式，製造出一個人工仿造的大腦，能夠像人腦一般的學習各種事物，包括圍棋。
你相信的大腦長這樣嗎? 然而，這樣一個過於簡化，“錯誤"的大腦模型，透過反覆的訓練，可以強大到打敗世界棋王。
所以，批評一個模型（不只是經濟學的模型）假設是錯的，是偷懶且不負責任的廉價批評。單就假設實際與否來評斷一個模型是否有價值，是荒謬的。
而經濟學理論的問題不在假設太強，不在數學太多，而是不太知道如何辨別哪些模型是有用的。（大部分的）物理的模型可以藉由實驗觀測直接驗證，而一個圍棋的模型的強弱可以直接找一個人類高手測試，但經濟模型呢?在缺乏可以驗證理論的方法與資料，以及受限於可行的實驗不多的情況下，經濟學家又該何去何從？
僅管處境艱難，但缺乏資料並不能做為逃避驗證理論的藉口，更不該以數學粉飾太平。一個模型，必須和現實世界有連結，方能作為政策分析之用。所幸，近年經濟學界的更加重視資料。像是有越來越多的經濟學家開始做實驗。不只是在實驗室裡做實驗，也在鄉村裡、在學校裡做實驗，研究著「如何讓非洲人民脫離貧窮」、「如何提高弱勢孩童的學業表現」等實際問題。欲知詳情，可以看看白經濟之前分享的一篇書評「窮人經濟學—以科學精神檢驗失敗的扶貧政策」。另外，在這大數據的年代，經濟學家能取得的資料也更多，提供更多機會讓經濟學家驗證理論。
笨蛋，問題不是出在數學
大量使用數學本身不是問題，而是如何使用數學才是個問題。倘若誤以為數學可以取代資料，作為逃避檢驗的障眼法，那便是濫用了。反之，若妥當運用，數學可以幫助我們釐清自己的思緒，表達自己的想法。除此之外，還能用來推導統計模型，應用於實證的研究。無論使用數學與否，理論最終仍是要回到資料（現實世界），至此經濟學也才真正會是個科學。
參考資料
Colander, David (2005), “The Making of an Economist Redux,” Journal of Economic Perspectives, 19(1): 175-198.
Pfleiderer, Paul (2014), ‘‘Chameleons: The Misuse of Theoretical Models in Finance and Economics.’’ Working Paper.
Romer, Paul M. (2015), “Mathiness in the Theory of Economic Growth,” American Economic Review, 105(5): 89-93.