一擲千金的豪賭是不理性的嗎?

個體經濟學不確定性決策理論週刊編集

在對於核電的討論中,有一派的說法認為:就算核能發電發生意外事故的後果相當慘重,但是相對於其發生意外的機率,這樣的潛在成本極為渺小;但如果使用其他現有的替代方案(例如火力發電),對環境造成的傷害,期望值反而更大。因此,我們在制定政策的時候,本來就應該選擇期望成本比較低的發電方式。或者說,這樣的決策方式相對來說,是更加「理性」的選擇。

這樣的論證方式聽起來很合理,不過其實它隱含了一個假設:作為「理性」的決策者,我們應該極大化客觀的期望報酬。假如在同樣生產1000萬價值的電力的情形下,核能發電有 0.0001% 的機率造成 100 億的傷害成本,而火力發電有 1% 的機率造成 100 萬的傷害成本,那麼核電的傷害期望值就是 100 億 × 0.0001% = 1000,火電的傷害期望值是則是 100萬 × 1% = 10000。如果我們的目標是較低的成本,那麼的確,核電可能會是比較好的選擇。

極大化平均報酬=理性?

不過極大化期望報酬就代表「理性」嗎?我們來考慮看看以下的劇情。有一天,小明走到一間彩券行前面,彩券行老闆拿出了一張售價 50 元的刮刮樂,這種刮刮樂只有兩種獎項:100 元或是槓龜(0元),中獎機率剛好 50%。那麼小明該不該買這張彩券呢?

按照一開始的說法,這張彩券的期望值剛好是 50 元,也就是說,買不買這張彩券應該是沒差的。不過小明對於錢的偏好稍微有點「特別」。對小明來說,每多拿到一塊錢的價值,會隨著他現在有的錢漸漸降低。在他身無分文的時候得到的 1 元硬幣,會遠勝於他成為霸道小明總裁之後得到的 1 元硬幣。這麼寫出來之後,這個「特別」的偏好好像也不是那麼特別──我們的確會在日常生活中觀察到邊際效用遞減的現象(想想吃到飽火鍋店的第一盤肉和第十二盤肉!)。

當小明買了這張彩券,在他身上就有可能發生兩件事情:中獎或者槓龜。如果小明中獎,他就會額外得到 50 元;反之,當小明槓龜,他就會損失 50 元。因為中獎和槓龜的機率各半,所以小明要比較的,應該是得到 50 元的快樂多一點,還是損失 50 元的痛苦強一些。而就像我們前面所說的,小明對於錢的效用會隨著他所在的位置遞減。因此,小明從 0 元到 50 元的變化程度,會比 50 元到 100 元的變化程度還高。所以對於小明來說,不買這張彩券,反而是比較好的選擇。

不管喜不喜歡風險,大家都可以很理性

在此,我們關心的並不是錢的期望值,而是更直接的「效用」的期望值。這就是由馮諾伊曼 (John von Neumann) 和摩根斯坦 (Oskar Morgenstern) 在二十世紀中提出的「期望效用理論」。期望效用理論有趣的地方是,我們完全沒有提到小明對於風險本身的喜好(喜歡刺激還是喜歡安定),單純只是用小明在不同金額下對錢的偏好,就得出了小明事實上會迴避風險的結果。如果我們將「理性」定義為極大化效用的期望值,那麼小明迴避風險的這種行為,也可以是理性的。甚至我們可以進一步考慮:如果彩券中獎會得到 120 元,也就是彩券的期望獎金會比售價高,小明這時不買彩券還是不是理性的呢?如果小明對於錢的邊際效用遞減現象非常強烈(在持有財產很多的情形下,額外的 1 元帶來的效用極低),不買彩券對他來說仍然有可能是最好的選擇。

我們可以繼續想想另一個客人:小修。對於小修來說,不管他身上的錢有多少,1 元就是 1 元,多賺一點點帶來的效用都是一樣的。那麼,他在選擇彩券的時候,就可以單純只考慮彩券的期望值──因為他的邊際效用不會變少。當小修買彩券只考慮所得的期望值時,我們說小修是「風險中立」的決策者。對他來說,買不買那張頭獎 100 元的彩券確實沒有差異。

如果有人的邊際效用是遞增的呢?例如小美就是想湊到 100 元來買一塊超美味巧克力蛋糕,這時從 99 元到 100 元的邊際效用就會突然飆高。此時,面對同樣的彩券,小美可能就會願意追求這份風險,購買這張彩券。

如果從期望效用理論出發,我們會發現,不論是迴避、中立或甚至愛好風險,都有可能是基於理性判斷下的選擇。單單使用期望報酬,並無法直接推導出特定的政策優劣。當然,如何在公共政策的脈絡下做出最適選擇,還有其他會遇到的困難,經濟學家與心理學家們對於不確定性下的決策也有更進一步的研究。然而,在討論公共政策時,最重要也最困難的一點,是如何正確了解別人的偏好;這就是需要各方不同意見互相理解、折衝的地方了。

技術性細節

實際上要使用期望效用理論,需要滿足一些條件。以下提供給有興趣的讀者參考。

  1. 完備性 (completeness)
    當你拿到隨便兩張彩券,你一定可以比出哪一個比較好。
  2. 遞移性 (transitivity)
    假如你喜歡彩券A勝過彩券B,而且你喜歡彩券B勝過彩券C,那麼你也會喜歡彩券A勝過彩券C。
  3. 連續性 (continuity)
    (以下是其中一種表述法)假如你喜歡彩券A勝過彩券B勝過彩券C,那麼你可以找到一個彩券A和彩券C的包牌組合彩券D,讓你覺得彩券D和彩券B一樣好。
  4. 獨立性 (independence)
    假如你喜歡彩券A勝過彩券B,那麼對於隨便一張彩券C,彩券A和彩券C的特定包牌組合也一定會勝過彩券B和彩券C的特定包牌組合。(兩邊的包牌法必須相同,例如:40%買A/B,60%買C。)

條件 1 和 2 看起來挺合理的,畢竟你買了彩券回家不能比大小也是有點奇怪;或者是說,你明明喜歡 A 勝過 B 而且也喜歡 B 勝過 C,可是比 A 和 C 的時候又變得顛倒過來,這種假鬼假怪的偏好確實也不太理性。條件 3 比較是數學上的技術性假設,不過這也是在保證我們的偏好不會突然跳來跳去,對某一張彩券特別喜歡或特別討厭,也算是合理的假設。

第四個假設:獨立性,就沒有那麼容易混過去了。這個假設說的是,你對彩券 A 或 B 的選擇,不會因為混進彩券 C 而有改變。但你可以想想看以下的劇情:

彩券 A 是核電廠爆炸與否;彩券 B 是火力發電廠造成民眾健康危害與否。假如彩券 C 是大樂透本期開出頭獎與否,那麼你喜不喜歡 A 或 B ,應該不會受到彩券 C 的影響。但是,如果彩券 C 是:台灣周邊海域近十年可能發生地殼變動的機率,這個彩券可能就會影響一些人對於彩券 A 或 B 的偏好了。實證上,我們的確沒辦法保證獨立性是一個可以被毫無疑問接受的假定。不過在許多比較簡易的脈絡下,大致上這個假設還是可以成立的。

※本文原刊於《週刊編集 The Affairs》

RedHerrings

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從大西洋捕上來的新鮮鯡魚,以壯年的松木煙燻,再經高山岩礦醃漬,直到表面出現紅色花紋。獵戶們會利用燻鯡魚的陣陣香氣,將其散落在森林當中,訓練獵犬避開鯡魚的香氣,正確捕捉獵物的行蹤。