數學經濟,豆漿油條

個體經濟學研究方法數學

「我知道 你和我 就像是豆漿油條 要一起 吃下去 味道才會是最好」
——林俊傑〈豆漿油條〉

數學之於經濟,彷彿豆漿之於油條。

隨手翻開現今的主流經濟學期刊,其中密密麻麻的數學式,隱藏在文字中四處亂竄的各式希臘字母 \( \alpha, \beta, \theta \) ,多到讓人不禁懷疑這是本數學期刊。不只如此,諾貝爾經濟學獎也曾出過好幾位數學家。撇開研究前緣不談,經濟學教育也離不開數學:要選修大二的個/總體體經濟學,先要有微積分的基本知識;美國各個主要的經濟學博士班,會在進入博士班一年級的那個暑假,要求所有新生選修“Math Camp”(大概可以想成是短期數學衝刺班);甚至,各校在挑選博士班學生的時候,數學課的成績是非常重要的篩選標準。

經濟學,作為一門如此大量使用數學的學門,在人文社會科學中顯得很異類。從表面上來看,經濟學更像是物理和數學,而非同門的社會學、政治學。大量使用數學,也使得經濟學看起來更「科學」。也有一份針對諸如哈佛等經濟學名校的調查指出,有高達77%的博士生家認為經濟學是所有社會科學中「最科學的」。但經濟學界之中,也不缺乏諾貝爾獎等級的大咖出來撻伐此一現象,指名某些經濟學研究,在數學的外衣下,卻缺乏真正的經濟學洞見。

為了方便之後的討論,在接下來的段落,麻糬我先將帶讀者們無痛體驗數學在經濟學中運用方式,再簡單地分析其利與弊,並討論一個有關「假設」的常見迷思。最後,和大家聊聊經濟學近期的潮流,一個如何走出象牙塔,走向一個更科學、更實際的過程。

數學作為一種語言——以中間選民模型為例

在經濟學,數學主要是被當作一種語言來使用。用以建立經濟模型,解釋真實世界發生的現象。

關於建立模型,得先搞清楚一件事。不一定要有數學,才是一個模型。模型應該想做是一個故事,一個有關這個世界是如何運作的一套說法。而數學,所謂文以載道,只是乘載那個故事的語言。麻糬我這樣說明可能太過抽象,不如就以赫赫有名的中間選民模型作為例子吧。

不知道大家在2016大選有這樣的感覺,民進黨候選人蔡英文,越接近選舉日,立場越趨近中立,對敏感的兩岸關係議題,總是回答要「維持現狀」;而國民黨也在選前臨時換將,將極統的洪秀柱換下來,換上立場較中立的朱立倫。到最後,藍綠的立場,似乎沒什麼差別?

以上的觀察,就是中間選民模型。簡單來說(以中文來說),就是在兩位候選人在競選過程,為了牟取大部分選民的支持,會提出較為中間的政策。若是提出較為偏激的政策,像是台獨/極統,雖然能鞏固深綠/深藍,但反而會損失其餘的支持者,因小失大。所以,在選舉中,簗方候選人會提出較為中立的政見,

以上是文字版本的敘述,而中間選民模型以數學的方式寫下則會長這樣。先假設這個社會有7位選民,並把選民的依照台獨傾向照順序排排站,再依順序編編號。如下圖,越左邊的越傾向支持台獨,越右邊的則越傾向支持統一。

選民排排站
圖片出處:白經濟自製

在這場選戰中,候選人必須聲明自己的統讀立場,作為自己的政見來吸引選民。而選民在投票時,會選擇與自己立場最接近的候選人,若兩位候選人的立場同樣接近,則隨機投給其中一位。

以上是這個模型的假設。而中間選民模型說的是:在多數決的情況下,兩個候選人會聲明相同的立場,並宣稱自己和選民4號站在同樣的立場,作為自己的政見。為什麼?

一句話:因為這是唯一合理的狀況。為何會說其他的可能性都是不合理的呢?以下就簡單地展示一下。

狀況一:兩人政見不同,比如說候選人A選擇和2號選民相同的立場,而候選人B選擇和5號選民相同的立場。

狀況一圖示
圖片出處:白經濟自製

根據「選民會投給和自己立場最近的候選人」這個假設,選民1 & 2 & 3 會投給A,而選民4 & 5 & 6 & 7 會投給B,結果是候選人B獲勝。但這種情況不可能會發生。因為在狀況一下,候選人A會想要選擇和4號選民相同的立場,這樣一來,候選人一口氣可以拿到選民1 & 2 & 3 & 4的選票,贏得這場選戰。

狀況二:兩人政見相同,但並不是選擇和選民6號相同的立場。比如說兩位候選人同時選擇和選民3同樣的立場。

狀況二圖示
圖片出處:白經濟自製

由於兩方政見相同,根據「若兩位候選人的立場同樣接近,則隨機投給其中一位」這個假設,所有選民都是隨機投給A或B其中一位。因此,兩位候選人勝選的機率相同,各是1/2。但與狀況一相同,這時兩方都有偏離這個狀況二的動機,因此狀況二是不合理的。像是候選人A會想要移動到4號選民的位置,這樣就能保證贏得選戰。

敵不動我不動——納許均衡

所以當我們看到這,就能知道前面這兩種情況都是不可能發生的。而扣掉狀況一二後,唯一的可能性只剩下“兩人政見相同,同時選擇和選民4號相同的立場”。

接下來將秀給大家看,在這情況下,兩方都沒有偏離原本策略的意願。

納許均衡圖示
圖片出處:白經濟自製

由於兩方政見相同,同狀況二的推理,根據「若兩位候選人的立場同樣接近,則隨機投給其中一位」這個假設,兩位候選人勝選的機率各是1/2。但不同的是,這時候兩方都都沒有變換策略的動機,因為一旦移動了,將會從原本1/2的勝率,變成注定的失敗。這方面就留給讀者自行推導了。

所以說當兩位候選人同時選擇和選民4號相同的立場時,兩方都沒有誘因更換策略1。這種敵不動我不動的狀況,在賽局理論中被稱為納許均衡。要注意到,雖然我們在這模型中假設這個社會只有7位選民,但讀者可以稍微驗證一下,跟著上面的邏輯,不管是7位,還是777位,還是77777位,結果都是一樣的——兩位候選人都會選擇和最中間那位選民(也就各自的中位數6,389,38889號選民)相同的立場。

數學的利與弊

好了,我們花了這麼多力氣,用數學詮釋了這個模型2,到底是為了什麼?有什麼好處?

首先,理論的敘述變得更加精確。文字版本中的預測是「兩方會提出較為中立的政策」;而在數學版本中,明確指出來,所謂的中立的政策,是指「中位數選民的偏好」。提供一個精確的描述,不只是幫助我們的理解,還能提供一個能被否證的假說。而具有能被否證的假說,正是科學精神的核心。

第二,先不管這個模型符不符合現實世界的情況,數學可以幫我們檢查一個模型本身,從假設到結論這前後,推論是否符合邏輯。在給定我們的假設之下,是不是能夠藉由數學,推論到我們宣稱的結果呢?此外,由於數學是個嚴謹的語言,以數學表達模型時,假設都會被凸顯出來。這些原本在文字版中沒被注意到的假設,通通會浮出水面。如,我們假設選民會投給與自己立場相近的候選人。

然而,有一好沒兩好,把一個模型改用數學寫下,究竟有什麼壞處呢?

首先,比起文字敘述的模型,更加簡化。精確的另一個代價便是高度的簡化。必須做大量(強)的假設,才能維持數學上的可分析性。若要維持精確,又不簡化,那整個模型會複雜到無法分析。

第二,提高技術門檻,阻礙外界人士(甚至是其他經濟學家們)參與討論。剛剛這個中間選民模型,看起來可能太親切了。那下們這個呢?

圖片出處:"Constrained conditional moment restriction."
Chernozhukov and Santos. Working Paper.

再把問題拉高一個層次,當整個經濟學家的圈子,大量使用數學時,會出現什麼問題呢?

過去,曾有個經濟理論狂飆的年代。熱潮過後,有幾位大咖開始撰文批評。包括諾貝爾獎得主Paul Krugman、紐約大學教授 Paul Romer、和史丹佛教授 Paul Pfleiderer,檢討此一現象。

其中最嚴厲的指控,便是經濟學家誤用了數學。數學不再只是個語言,而喧賓奪主,成為了一個衡量一個理論價值的指標。一個模型,只要數學性質優美3,似乎就是個好模型,而完全忽略模型本身是否能解釋資料,能否增進我們對這世界的理解。經濟學家且對於對數學本身之迷戀,使得某些經濟學家迷失在理論本身的數學性質優美與否,而非理論是否真能解釋現實世界之現象。

讓我把這些大咖的批評先擱著,以後有機會再和大家討論。讓我先來討論麻糬我個人作為一個經濟系學生,最常聽到的批評:

「經濟學的假設都太不切實際了。」

回到中間選民模型的例子,這個模型做了哪些假設呢?

  1. 模型中只有兩位候選人。若有三位候選人,又會怎麼樣?最近的美國共和黨初選,不就是由立場最偏激的川普贏了嗎?(延伸閱讀:How Majority Rule Might Have Stopped Donald Trump)
  2. 模型中,假設了選民只在乎兩岸關係。重點不在選民只關心的那個議題是什麼,而是假設了選民只在乎一個議題。而現實生活中,每個人都有自己的利益考量,選民絕對不止只在乎一個政見。
  3. 我們假設了每一位選民都會去投票。但現實中的投票率通常不到七成。
  4. 以下略。

的確,以上的假設,都很不切實際,都和現實世界相悖,都是「錯」的假設。錯,全錯,通通錯。但這樣就能說中間選民模型是個沒用的模型嗎?

“All models are wrong,but some are useful”

這時候就得搬出統計學家George Box的名言: ”All models are wrong,but some are useful.”為了能夠分析,所有模型都必須做出假設。而做出假設的同時,就也命定了一個模型必定是「錯」的,因為一個假設,必與現實有出入。但是,這些「錯」的模型,有些是有用的。有的提供一個解釋的觀點,有的幫助我們預測未來。

把一顆鉛球從101頂樓往下丟,多久會著地?這是個只要是學過牛頓第二運動定律\( F=ma \)的高中生,都能輕鬆算出的問題。就算是不考慮空氣阻力,把重力加速度用9.8代入(而不是9.80665),得出的答案也差不了多少。雖然這個模型忽略了空氣阻力,9.8也只是個近似值而與現實不符,但依然有用處。

如果覺得地心引力這種高中習題不夠有說服力,那讓我們來談談應用更廣泛、最近正夯的機器學習。今年三月打敗世界棋王的Alpha Go,主要使用的技術是深度學習,而深度學習,說穿了就是類神經網路,一個大腦的模型。電腦科學家希望藉由模仿大腦的運作方式,製造出一個人工仿造的大腦,能夠像人腦一般的學習各種事物,包括圍棋。

你相信的大腦長這樣嗎? 然而,這樣一個過於簡化,"錯誤"的大腦模型,透過反覆的訓練,可以強大到打敗世界棋王。

所以,批評一個模型(不只是經濟學的模型)假設是錯的,是偷懶且不負責任的廉價批評。單就假設實際與否來評斷一個模型是否有價值,是荒謬的。

而經濟學理論的問題不在假設太強,不在數學太多,而是不太知道如何辨別哪些模型是有用的。(大部分的)物理的模型可以藉由實驗觀測直接驗證,而一個圍棋的模型的強弱可以直接找一個人類高手測試,但經濟模型呢?在缺乏可以驗證理論的方法與資料,以及受限於可行的實驗不多的情況下,經濟學家又該何去何從?

僅管處境艱難,但缺乏資料並不能做為逃避驗證理論的藉口,更不該以數學粉飾太平。一個模型,必須和現實世界有連結,方能作為政策分析之用。所幸,近年經濟學界的更加重視資料。像是有越來越多的經濟學家開始做實驗。不只是在實驗室裡做實驗,也在鄉村裡、在學校裡做實驗,研究著「如何讓非洲人民脫離貧窮」、「如何提高弱勢孩童的學業表現」等實際問題。欲知詳情,可以看看白經濟之前分享的一篇書評「窮人經濟學—以科學精神檢驗失敗的扶貧政策」。另外,在這大數據的年代,經濟學家能取得的資料也更多,提供更多機會讓經濟學家驗證理論。

笨蛋,問題不是出在數學

大量使用數學本身不是問題,而是如何使用數學才是個問題。倘若誤以為數學可以取代資料,作為逃避檢驗的障眼法,那便是濫用了。反之,若妥當運用,數學可以幫助我們釐清自己的思緒,表達自己的想法。除此之外,還能用來推導統計模型,應用於實證的研究。無論使用數學與否,理論最終仍是要回到資料(現實世界),至此經濟學也才真正會是個科學。


  1. 在賽局理論中,這稱為最佳對策(Best Response)。也就是說,在給定對方選擇4號時,自己也選4號是最好的決策。

  2. 可能會有讀者懷疑這為何是個數學的模型。筆者稱此版本之為數學,是因為他符合了“定義-假設-結果”這個基本數學架構。定義(納許均衡),假設(如選民投給與自己立場接近的人),結論(最終兩位候選人會選擇中位數選民的立場)。

  3. 何謂數學性質優美,wiki的解釋

參考資料

Colander, David (2005), "The Making of an Economist Redux," Journal of Economic Perspectives, 19(1): 175-198.

Pfleiderer, Paul (2014), ''Chameleons: The Misuse of Theoretical Models in Finance and Economics.'' Working Paper.

Romer, Paul M. (2015), "Mathiness in the Theory of Economic Growth," American Economic Review, 105(5): 89-93.

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How Did Economists Get It So Wrong?

麻糬

麻糬

Q中帶軟,軟中帶Q,食用時小心噎到。