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2020年的諾貝爾經濟學獎由目前在史丹福大學任職的保羅‧米爾格龍 (Paul Milgrom) 以及羅伯特‧威爾森 (Robert Wilson) 共同獲得。他們獲獎的理由是來自他們「對拍賣理論的改良以及新拍賣機制的研發」。這是繼開創拍賣理論的1996年得獎者之一維克里 (William Vickrey) 和將拍賣導入機制設計理論的2007年得獎者之一邁爾森 (Roger Myerson) 之後，又有拍賣理論領域相關的學者獲獎。拍賣這個行為本身很早就出現在人類的歷史中，而在經濟學家開始將不確定性引入模型後，拍賣理論才真正開始展現其威力。威爾森和米爾格龍這對師徒在前人對拍賣理論的基礎之上，更進一步建立起了更普遍、一般化的架構。除此之外，他們還為政府的電磁波頻譜設計了拍賣制度，讓複雜的頻譜分配問題能夠以更有效率的方式解決。

在這篇文章中，我們會首先簡介最基礎的拍賣理論，接下來介紹威爾森的普遍價值拍賣以及「贏家的詛咒」。之後我們會進一步說明米爾格龍和威爾森等人所設計的多商品拍賣制度，也就是後來被廣泛運用在政府的電磁波使用權拍賣的制度。#拍賣理論入門：私人主觀價值的拍賣

古希臘史家希羅多德曾經記錄人類歷史已知最早的拍賣：在距今2500年左右的巴比倫時代，拍賣未婚少女的婚姻權。雖然這個最早的拍賣從現代人的角度聽起來有點離經叛道，但拍賣制度一直以來都存在於人類的市場交易中。從政府沒收的質押品，一直到文藝品，拍賣制度的核心都是一樣的：在許多的買家之中，找到最適合的方式分配商品。

如果我們使用不同的拍賣機制，會不會出現不同的商品分配情形呢？在開始研究這個問題之前，我們需要先建構一個基本的拍賣模型，來理解人們到底是如何在拍賣場上進行決策的。現在想像你現在人正在拍賣會中，舞台上推出了一座蟠龍花瓶。此時，台下群眾驚呼了一聲，並且此起彼落討論起來。你環顧四周，然後開始思考該怎麼在這場拍賣中獲得最佳的利益。首先，每個人對於蟠龍花瓶的主觀價值 (private value) 是不同的，同時身為專業的藝術收藏家，你們的主觀判斷完全不會受到他人或世人觀感影響；也就是說，每個人之間的主觀價值是完全獨立的。¹

這時，拍賣官按下計時器，舞台上面螢幕顯示的價格從0元開始慢慢提高。每個人可以選擇隨時離開競標；而最後一個留下來的買家將可以當下的價格購得競標品。你開始考慮你的最佳決策：如果蟠龍花瓶對你來說的主觀價值是100億，那麼在價格上升到100億之前，你都應該要留下來，因為這代表你可以用100億以下的價格買到對你來說有100億價值的花瓶，完全划算；但當價格超過100億時，你就應該馬上離開，因為每多留1秒，就代表你有更高的機會用超過100億的價格買下100億的花瓶。不論別人使用什麼策略，上述這種喊價策略對每一個人都是最好的（或者掉書袋的講法，「在價格超過主觀價格時馬上離開競拍」對每個人來說都是優勢策略）。所以就算每個人都知道其他拍賣者正在使用這個策略，也不會有人有誘因改變自己的策略。換句話說，所有人都等到價格升到自己的主觀價值時才離開，就會是這個升價拍賣賽局的均衡。

這個基礎的主觀價值拍賣模型是由1996年的諾貝爾經濟學獎得主之一維克里 (William Vickrey) 率先提出的。上面提到的「價格逐漸攀升」的拍賣機制，也就是所謂的「英式拍賣」。維克里同時也證明了英式拍賣和「次高價彌封競標 （2nd-price sealed bid auction，或稱維克里拍賣，拍賣者秘密寫下投標金額，由投標金額最高者勝，但實際付出的金額是次高標）」是策略等價的：參與競標者直接揭露自己的主觀價值，都會是最佳的優勢策略。順帶一提，在「最高價彌封拍賣（1st-price sealed bid auction，投標者秘密寫下標價，由價格最高者得標，並付出其寫下的金額）」中，（對稱的）均衡策略會略低於主觀價格；但只要人數夠多，你的投標還是會非常接近主觀價格。

更進一步來說，不管拍賣機制長得再奇怪，只要這個拍賣機制在均衡下，買家不會想要假裝自己的主觀價值比實際情形高或低（誘因相容 ，incentive compatible），同時買家們的主觀價值的事前分配連續而沒有斷點，那麼這些拍賣機制，平均而言會讓賣家得到完全相同的報酬。²

不過你也許會發現這個模型有一些奇怪的地方。首先，直覺上來說，蟠龍花瓶對每個人的主觀價值應該不會是獨立的，而應該會有一些共通的標準（像是我自己畫的小雞食米圖，可能所有人都會覺得沒什麼價值）。若是我們考慮到轉賣的可能性，那麼單純假設大家的主觀價值各自獨立，似乎就不是很有道理。今年的諾貝爾經濟學獎得主威爾森和米爾格龍，就在前人對拍賣的研究基礎上，做了一個幾乎是180度翻轉的改變，發展出拍賣理論精彩的另一頁。

普遍價值拍賣和贏家的詛咒

現在想像你要競標一座礦山的採礦權。礦山在還沒真正開採之前，沒有人知道礦山真正的價值是多少，頂多只能從各種研究報告和試探勘中，大致推測這座礦山到底是寶山還是垃圾山。然而，在正式開礦之後，礦山對於每一個人的價值都會是相同的。也就是說，礦山對於所有人來說有相同的普遍價值(common value)。威爾森就在當時才發展不久的資訊不完全理論下，提出了普遍價值拍賣的理論框架。在這個框架下，買家們雖然不知道拍賣品的普遍價值具體來說是多少，但是他們會得到一些訊號 (signal)，並能夠藉此推論拍賣品的價值。

礦山的例子感覺有點難想像，所以我們用以下這個範例來說明。你和你的朋友們從倉庫中挖出一個塞滿零錢的小豬撲滿。這是你小時候存錢的撲滿，所以你也不記得到底裡面有多少錢。為了好玩，你們決定「競標」這個撲滿：你們圍成一圈坐在撲滿旁邊，看著撲滿，接著同時寫下自己想投標的金額，最後以價錢高者勝，並且付出自己寫的價格（就是前面提過的最高價彌封拍賣）。在這個情境中，你的最佳策略會是什麼呢？

首先，你和你的朋友們都會從自己的角度看到這個塞滿零錢的小豬（也就是「訊號」），並且在心中估計零錢的數量。我們假設大家的估計值是小豬的真實價值，附加上一個估計的隨機誤差（誤差可正可負，但平均是0）。³當然，沒有人知道真實價值和誤差各是多少。在沒有其他資訊的情形下，每個人最好的猜測，就是自己的估計值。那麼，我們應該投標在自己的估計值上嗎？

我們就假設大家真的都乖乖在紙條上寫上自己的估計值。此時，依照我們的規則，在這場拍賣中的贏家，也就是估計撲滿價值最高的人。然而，由於估計是有偏誤的，這個贏家事實上也會是估計誤差最大的那個人。也就是說，雖然他贏了拍賣，但他也會是損失最多的買家，因為他花了遠高於真實價值的錢，買下了不值他心中估計值的撲滿。因此，實際的均衡策略（如果存在），就必須考慮到這一點，並且調降自己的投標。之後在文獻上，這個現象就得到了一個廣為人知的渾名：贏家的詛咒 (winner’s curse)。⁴

更具體一點說明，「在拍賣中獲勝」本身，其實就是一個鮮明的資訊，告訴你你已經比在場所有人都高估了這個撲滿的實際價值。尤其是在玩家人數越多的時候，你應該把預期修正得越多，因為你能夠在人數眾多的拍賣中拔得頭籌，正巧就是因為你的估計大錯特錯，才會比所有人都高。^{5 6} 要注意到，就算你事先就知道這個「詛咒」的存在，你的均衡策略仍然會讓你在獲勝的時候，成為在場高估最多的那個冤大頭，只好詛咒自己的勝利；但由於你已經使用了均衡策略，你的心中無法有一絲一毫連結原理

現實生活中的拍賣通常不是單純只有主觀價值或只有普遍價值的極端情形，而是在兩極之間的光譜（例如：藝術品拍賣）。威爾森、以及後來成為他的博士指導學生的米爾格龍兩人以此為基礎，發展了許多不同的介於中間的模型。我們考慮一個拍賣藝術品的場景。有一天，你在拍賣會上看到了一幅色彩鮮豔的畫作。雖然你對於藝術一竅不通，但這幅畫卻直擊你的內心，給了你 x 的主觀私有價值。同時，因為好的藝術是可以感染所有人的，你也判定這幅畫的普遍價值 y 應該是相當高。

雖然模型也因為如此的設定變得更加複雜，但米爾格龍以單調概似率性質 (monotone likelihood ratio property) 這個假設作為武器，推導出許多重要的結果。單調概似率的假設，其實大致上就是說：當你主觀上拿到的訊息比較樂觀時，實際上這個拍賣品的價值也更可能比較高（例如：你聘請的藝術經理人告訴你你家倉庫的畫作很有可能是某畫家的真跡）。如此一來，買家就可以比較放心的在拿到比較好的訊息時，大膽以高價投標。

米爾格龍和韋伯 (Robert Weber) 1982年在《經濟計量學》的文章中，就得到了幾個重要的結果。首先，賣家可以透過專家鑑定揭露資訊，藉此獲得比較高的報酬。另外，能夠聚集更多資訊的拍賣方法，也會使賣家報酬更高。因此，在拍賣過程中人人都公開喊價（隨時公開買家們的資訊）的英式升價拍賣，對賣家來說就比神神秘秘的次高價彌封拍賣有利；而次高價彌封拍賣又比最高價彌封拍賣以及從高往下喊價的荷式拍賣有利。

這些結果又被總結為連結原理 (linkage principle)：當價格與買家們的私有資訊連結越緊密時，賣家的平均報酬就會越高。有趣的是，隨著更多資訊在拍賣的過程中被揭露，「贏家的詛咒」也會因此減少。⁷米爾格龍等人的研究成果，以理論證據來證成了為什麼拍賣者會希望提供買家各種資訊。

頻譜拍賣

威爾森和米爾格龍的另外一支重大貢獻，就是設計許多不同種的「複數拍賣品」拍賣機制。其中最為人津津樂道的，就是他們在1994年為美國聯邦通訊傳播委員會 (FCC) 設計的同步多輪拍賣 (Simultaneous Multiple Round Auction，SMRA)。此前，電信頻譜的分配多半是利用抽籤決定或是繼承既有使用權，並且向使用者收取固定的規費；這種分配方式完全沒有考慮到使用者的願付價格，自然不會是有效率的分配機制。威爾森和米爾格龍實際利用即時多輪拍賣制來分配電磁波頻譜使用權，並在當年替聯邦政府賺進了200億美金，是當時預測收入的兩倍之多。這份爆量的收益，正表明了新的拍賣制度可能是更有效率的一種頻譜分配方式。

頻譜拍賣相對於單一商品的拍賣來說，在許多方面都變得複雜許多。首先，電磁波頻譜本質上只是將不同頻率的電磁波分段以分配使用權；也就是說，在拍賣市場上出現的商品可能會有複數個（你可以想像我們在拍賣頻道的號碼數）。此外，頻段之間的價值並不完全是獨立的：如果你買了三、四個頻段的使用權，你可能會比較希望這些頻段各自頻率呈整數倍，藉此來擴大可使用的範圍。⁸

在電波拍賣的情形中，還有其他需要考慮的問題。在平常的拍賣中，我們都會希望拍賣的收益越高越好；然而政府主導的拍賣卻未必應該追求收益極大化，因為短期的收益極大化有可能會導出變成獨佔市場的均衡，長期以來未必是好事。同時，新的拍賣制度必須要能防堵勾結圍標的情事、又不至於對買家造成太大負擔（否則可能出現會外標），同時又要考量外部性的問題。⁹

為了找出能夠減輕這些問題的制度，米爾格龍和威爾森，以及麥克阿飛 (Preston McAfee) 各自設計了一套拍賣方法，最後就整合為1994年聯邦通訊傳播委員會所使用的同步多輪拍賣法：SMRA。所謂的同步，就是指全部的商品會一起出現在市場上待價而沽。SMRA的本質實際上就是升價拍賣：在每一輪開始的時候，所有參與拍賣的人都可以對自己有興趣的商品喊價，而每一輪最終留下來的人就是「暫定贏家」，之後開啟新一輪的拍賣。如果在某一輪的拍賣中，沒有任一一位買家有動作，這時拍賣便宣告結束，由這些「暫定贏家」們正式贏得拍賣。

如果商品之間沒有互補性（不會因為同時拍到A和B兩個商品得到額外的利益），那麼在執行良好的SMRA拍賣中，會保證對每個商品評價最高的人，一定會得到商品；也就是說，SMRA拍賣是有效率的。你會隱約看到一些連結原理在SMRA拍賣中的影子：首先，透過升價過程的本身，買家們就可以發現到各自的評價資訊。同時，多輪拍賣讓買家們比較沒有誘因提出一些奇怪的拍賣策略，因為你還是可以把前一輪的資訊帶到新一輪當中。

SMRA拍賣實際在執行面並不太複雜，所以廣受許多國家政府歡迎。在1994年美國的成功案例之後，有許多國家也隨之跟進。不過，SMRA並沒有完全解決頻譜拍賣會有的一些問題。正如上面所說，SMRA並沒有辦法將某些商品包裹拍賣。因此，某個打算把A和B區段一起買下來的買家，卻有可能最終只標到B；這在文獻上稱為 曝險問題 (exposure problem) 。為了因應曝險問題，在某些情形下會另外設計棄標機制，讓暫定贏家可以放棄自己的權利。然而無限制的棄標卻可能讓拍賣過程變得曠日廢時，因此可能需要更把握好棄標機制的設計。另一個可能出現的狀況是升價拍賣本身隱含的需求折減 (demand reduction) 問題。¹⁰ 如果不同商品之間的拍賣價格會互相影響，那麼大買家可能就會想要為了避免拉高市場行情，刻意不要把標價喊得太高，反而使得市場的總需求低於最有效率的均衡。

為了解決上述的問題，另外又有一些其他的機制被研發出來。奧蘇柏 (Ausubel)、克蘭姆頓 (Cramton) 和米爾格龍就提出了 組合拍賣鐘 (Combinatorial Clock Auction，CCA)。組合拍賣鐘本身可以允許不同商品間的組合，因此能減少曝險問題。

CCA分為兩大部分：分配部分 (The Allocation Stage) 和指定部分 (The Assignment Stage)，其中分配部分又可以分成兩個小階段：拍賣鐘階段 (clock stage) 和附加階段 (supplementary stage)。在拍賣鐘階段，每一輪拍賣官會公告每一個商品各自的價格，而買家回報自己想要購買的商品組合。價格會一直上升到所有商品都沒有超額需求，也就是每個商品都只有最多一個買家想要為止。接著就會進到附加階段，這時買家可以額外以彌封標加碼其他想要買的商品組合。在分配部分，買家所能指定的商品組合只有全有或全無，沒有拆包的選擇。

之後就開始指定部分。首先，拍賣方會先從分配部分中，找出每一個商品組合的最高標價。之後，再從各種出售商品的組合當中，找出使得價值最大的組合，並以此作為最終分配商品的方式。¹¹ 價格的詳細計算也會比較複雜，但大致上是以次高價拍賣為基本精神。

如同前面所說，因為CCA允許不同商品組合，所以提供買家更多彈性，也不怕被套牢。並且CCA透過拍賣鐘階段來公開買家們各自的資訊，也因此能夠利用連結原理減少普遍價值拍賣造成的不確定性。但CCA在理論上的性質就沒有那麼完善：誠實的報價並不見得是（弱）優勢策略。而CCA本身的特性，會出現許多不同玩家間的策略組合都可能達成均衡。作為多均衡的賽局，我們就很難預期執行CCA之後得到的策略組合是不是我們期望出現的那種有效率的均衡。在實務上，就有可能會得到走鐘的拍賣結果。

結語

米爾格龍和威爾森除了拍賣理論之外，對其他一些理論領域也有一定的貢獻。威爾森在研究拍賣之前，本身就是一位賽局理論的大師。克雷普斯 (David Kreps) 和威爾森提出的 序列均衡 (sequential equilibrium) 在動態貝氏賽局中，是一個非常有指標性的均衡解原則 (solution concept)。序列均衡的基本要求，是每一個玩家在賽局中的每一個可能的時間點，他們的行為都和其他玩家互相之間對彼此的信念一致。正如聽起來一樣，這是一個非常強的均衡解原則（因為連實際上不會發生的那些世界線也必須一致）。但這個均衡解原則除了能夠應用在拍賣理論上之外，也對產業組織中的廠商價格競爭模型有很強的預測能力。

威爾森和米爾格龍也對資訊不完全下的市場競爭有很深刻的研究。威爾森曾經提出了使雙邊拍賣（double auction，同時有多人買家與多人賣家的拍賣）達成效率性的條件。而我們曾經介紹過的無交易定理，正是由米爾格龍與史托奇 (Nancy Stokey) 發展的。米爾格龍另外也在配對理論中有相當的貢獻，同時也發展出契約配對的基本框架，使得拍賣和配對理論能有更大的應用空間。

米爾格龍和威爾森對於拍賣理論的貢獻，正好就是經濟學學術發展的一個縮影：從過去抽象簡單的模型出發，逐步添加契合於現實的細節，建構出一座座華廈，同時也為後人指出一條能夠繼續發展下去的道路。他們也積極的讓理論在現實生活中真正發揮力量，告訴世人，同時也激勵了經濟學社群：經濟學作為一個以堅實的數理理論作為靠山的學科，最終也能夠回答現實的問題，並且改善人們的生活。

參考資料與延伸閱

這篇介紹文大量參考了諾貝爾獎委員會的官方解說。這篇解說適合有一些背景，同時也想稍微深入一點了解拍賣理論發展的朋友。如果是對現代經濟學的數學工具相對沒那麼熟悉的讀者，則可以參照這本關於機制設計的入門科普書：《如何設計市場機制？——從學生選校、相親配對、拍賣競標，了解最新的實用經濟學》，應該是中文世界裡面比較深入淺出的介紹。至於想要挑戰自己的朋友，威爾森自己有寫過一篇拍賣理論的整理。當然，這並沒有追到非常現代，但也已經把1990年以前已經發展過的各種拍賣理論做了相當詳盡的介紹。 關於複數商品的拍賣機制，另外可以參考東吳大學的樊沁萍老師對於SMRA和CCA的介紹，文中有提供簡單的範例以及實務上的應用情形。