政治遊戲:舉舉手就像民主

政治經濟學不可能定理

選舉季節一到,打開電視走出家門,又是五花八門五顏六色七葷八素的各種政治訊息。老一輩常說,政治這種東西真真假假虛虛實實,現在連聽完一輪都沒有辦法了,更不用說還要去判斷真假對錯了。

政治這個領域,大概可以說是人類社會中最複雜的互動環境了。在其中權謀交錯,詭計百出,不是身在其中的人大約都是難以一窺堂奧。雖然經濟學家對於玄妙的政治語言也是一竅不通,但對於人類的決策行為,倒還算是有一些普遍的認識:人們會在給定的限制條件下,做出對自己最有利的事情。如果我們可以搞清楚在政治這個場域下,人們面對的限制到底是什麼?人們又希望極大化什麼東西?或許,我們經濟學家也可以猜出一些有趣的事情。

這一個經濟學的分支,在現代一般我們都稱作 政治經濟學。在大選將近的這幾周,白經濟的作者群們,將要一起為這次的選舉增添一些趣味的知識,希望大家可以在選戰的烏煙瘴氣中,能夠像經濟學家一樣旁觀酸人能夠發現一些有意思的視角,來看這場政治遊戲。


我讓大家舉手了,夠民主了吧

就像呱牛在 蛤,那現在為什麼是票票等值? 當中提到的,在某些時候,我們會有一些自己一個人喬不攏,可能需要和其他人一起協商才有可能搞定的事情。但是人只要一多起來,嘴就會雜。每個人都有自己的意見,其中又有不少像呱牛這種覺得自己很清楚自己要什麼不用管很寬的政府幫忙的極端 (?) 份子。但是我們總是不能這樣一直吵下去,否則還沒過到自由人的生活,就先因為分工問題喬不定,全部人一起餓死了。

每一個人對於不同的選項,都有各自不同的偏好。就像我喜歡蘋果勝過橘子,喜歡橘子勝過香蕉;你喜歡香蕉勝過榴槤,但是最喜歡的還是石榴姐。每個人各自的喜好的確不是其他人可以插嘴的。但當一群人共同生活,需要一起決定事情的時候,總是需要一個方法來統合大家的意見。

在一般的狀況下,大家最熟悉的就是舉手表決。聽起來很簡單,但是舉手的各種問題也是非常多:到底一個人有幾隻手?可以舉幾次?其實更深入一點問,為什麼舉手會是一個好的方法,來統合大家的意見呢?為什麼打群架不是更好的辦法?有沒有一個好的辦法,可以把個人的偏好,轉變成一個針對整個社會的公共決策呢?


其實想梗才是最累的地方

我們現在先來考慮一下,到底要怎麼樣描述所謂 “公共決策” 這件事。首先,之所以需要所謂的公共決策,應該是因為每一個人對於不同選項(或者在政治這個語境裡面,可能叫做政策),喜好程度都不一樣,但是我們卻還是必須決定一個政策。 為了讓我們之後準備要說的事情都能稍微具體一點,我們都舉一個共同的例子:1

某間學校向來都有舉辦校內合唱比賽的傳統。每一個班級都要決定他們班要唱什麼歌。當然,這個世界上有這麼多首歌,這要選起來也是很傷腦筋的。所幸,老師幫大家決定了幾首歌:
豬哥亮《嘉慶君遊台灣》很好可以認識台灣風俗
蔡秋鳳《金包銀》很好可以體驗早期台灣女性的堅忍
宋岳庭《Life’s a struggle》很好可以認識青少年對世界的無助

但是每個人喜歡的歌曲都不一樣,總不能又要打架,或像是上次呱牛說的用誰手最多隻來決定。為了要決定唱哪一首歌,我們規定一些規則:2
(1) 為了公平起見,每一個人的投票方式都是一樣的。不會有人多有人少。
(2) 我們希望每一個人的意見都要加進來這個參與過程。
(3) 我們希望一次決定,不要有決定後再拉票之類的拖拖拉拉的過程。
決定了之後呢,班長就要求大家按照自己喜歡不喜歡的順序,把三首歌排出來……

當然,這個例子也可以應用到許多其他的場合,諸如:家族旅行要去哪裡?聚餐要吃什麼?證交稅稅率應該要設在多少?台灣應該要統一還是要獨立?這些議題都有一個共通點:我們只能決定出唯一的一種排序。3


操縱選舉的100種方法

接著,在班長的明查暗訪之下,我們發現在班上的總共13位同學當中,大家對於三首自選曲的喜好排序如下:

表 1: 自選曲喜好排序
人數
排序 人數 排序
4
豬 宋 蔡
2 豬 蔡 宋
2 宋 蔡 豬
4
蔡 宋 豬
1 蔡 豬 宋

在這個表裡面,我們可以發現大概有五種人。舉例來說,對於最左上角的那一組,他們都最喜歡豬,第二喜歡宋,最不喜歡蔡。以此類推,我們大概就知道班上同學喜歡每一首歌的排序情形。這個每個人心裡的排序結果,我們暫時先不讓別人知道,以免投機分子等一下出來操作,讓我們已經開始有點複雜的分析變得更加混亂。

接下來,緊張刺激的投票時間來了。首先,班長決定我們每個人都投一票。在我們不知道其他人投票狀況的條件下,看來最簡單的辦法,就是投給自己心目中最喜歡的那首歌。所以我們就會得到以下投票結果:

豬:6票
蔡:5票
宋:2票

豬又贏啦!(奇怪我怎麼會說又呢?)選舉結果出來一陣譁然,正當有人決定要提議公開驗票時,副班長突然冷笑:“哼,這次班上意見如此歧異,怎麼可以用這麼草率的多數決來決定?我提議,我們改成一個人投兩票!”

雖然大家是不知道投一票和投兩票到底是多不草率在哪裡,不過反正只是多投一票,應該結果不會差太多吧?總之,大家又投了一次票。同樣的,大家也還搞不太清楚其他人的偏好長什麼樣子,所以就都是投給自己心目中的前兩名。開票結果如下:

豬:7票
宋:10票
蔡:9票

大家開完票之後,馬上又都驚呆了。原本投票吊車尾的宋,竟然因為很多人選他當第二名,所以在新的投票制度之下,突然逆轉勝變成第一名。而原本最高票當選的豬,大概因為很多人覺得太過俗氣,所以把他排在後面,反倒落到最後一名。

這時候,班上長年擔任班會主席的公道伯出來講話了: “我覺得啊,投兩票好是好,但是第二名跟第一名比重一樣,感覺不太能顯現大家的喜好程度。不然這樣我們把投票規則改成:給自己心目中的第一名2分,第二名1分,第三名0分。然後看哪一個分數加總最多,應該就是最公平、而且有效率的選擇了吧。” 這話聽起來也是挺公道,於是大家又投了第三次票:

蔡:14分
豬:13分
宋:12分

結果一出來,蔡秋鳳的歌迷們馬上又心一跳,不小心揮到公道伯。公道伯一個閃身,沒想到從外套裡掉出整套的蔡秋鳳專輯。副班長見狀,立刻向前一踏出聲喝斥,卻也從口袋裡面掉出宋岳庭的相片。最後,班上還是回到用打群架的方式來體現民主精神。在一旁看著的老師,除了為台灣的將來感到憂心,也覺得應該要打個電話問一下制服廠商,為什麼東西這麼容易掉出來……

扣掉廢話的段落,我們會發現,只要稍微修改一下投票的規則,就算是同樣的一群人投票,也有可能會跑出不同的結果。換句話說,如果你有這個心,確實有可能透過操作投票方式,讓自己心目中的選項,透過貌似民主的程序,做成一個其實有利於自己的公共決策。事實上,我們可以仔細看一下上面的投票遊戲中出現的三組結果:他們分別都跟這個班上的某些人一模一樣(豬>蔡>宋、宋>蔡>豬、蔡>豬>宋)。

你會說,不對啊,我們說不定可以設計出一種神奇的投票制度,使得沒有人會願意出手干擾選舉結果。但是事情不是憨人想的這麼簡單;或甚至只有極度聰明,拿得到諾貝爾經濟學獎的人才有辦法搞清楚到底是怎麼一回事。

他高傲,但宅心仁厚; 他低調,但受萬人景仰。 他將民主投票幻化成數學記號,告訴我們不可能存在這種投票制度! 他究竟是神仙的化身,還是地獄來的使者呢?

這個人,就是白經濟作者群們念茲在茲,摩拳擦掌等著介紹的:Kenneth Arrow;也就是年紀輕輕就寫出 亞羅不可能定理 的那個亞羅。


先打吳佩孚,聯絡孫傳芳,不理張作霖。

在這個部分,我想要特別跳出來說一下:假如大家在投票的時候,知道其他人的偏好,會導致什麼結果。為了分析的方便起見,我會繼續使用本文的例子,同時我只採用最簡單的多數決規則。另外,這張原本只有班長可以看的表,也因為從班長的書包掉出來,而變得人盡皆知。不過大家也只知道各類選民的人數,而不知道是誰,所以沒辦法用暗殺關鍵選民的方式操縱選舉。為了方便對照,我把上面的表格再拿下來。

表 1: 自選曲喜好排序
人數
排序 人數 排序
4
豬 宋 蔡
2 豬 蔡 宋
2 宋 蔡 豬
4
蔡 宋 豬
1 蔡 豬 宋

首先,假設大家都會先照著自己的偏好投票,也就是:

豬:6票
蔡:5票
宋:2票

這個時候,投給宋的兩個人想:現在的結果,會是我最不喜歡的那個豬當選。比起讓豬當選,我不如把我的關鍵票投給蔡,反正宋也不可能會變成第一名。

因此,這兩個原先投給宋的人,就進行了所謂的策略性投票。結果就變成:

豬:6票
蔡:7票
宋:0票

蔡因此獲勝了。不過呢,對於豬陣營的人,他們事先就會知道這個結果(假設大家的預設出發點都是一樣的)。所以對於排序是 豬宋蔡 的這些人來說,這可不是好的結果。所以他們就站出來說

嘿,我跟你們講,因為上面那個理由,所以我投給宋反而比較好,所以你們就不要跑票了,我們一起讓宋當選打給公厚母厚啊!(厚!)

請讀者們一起想一想,這個 “豬宋” 大同盟到底有沒有機會成立呢?如果你有想法的話,也歡迎在底下跟我們一起討論!


  1. 這篇文章的範例基本上是從 Donald G. Saari 的著作《決策與選舉》出來的。這是一本我覺得寫得算是淺顯易懂(換句話說,有點囉嗦)的政治經濟學入門書。之所以要特別拿出來提,是因為在書裡面竟然提到了台灣2000年總統大選的實例!?

  2. 當然,這些規則只是為了某種程度貼近現實。在我們日後會提到的亞羅不可能定理裡面,不見得需要這些規則。但我要特別說,你現在如果覺得這些規則越理所當然,卻一樣導出很奇怪的結果──那你就應該好好想想看,到底是哪裡出了問題!

  3. 不一定是決定唯一的政策,而是政策們的 "排序" 。當然,如果我們只選擇所有政策中唯一的一個,那麼從排序也可以知道我們要選什麼。


圖片取自 bokez 發表於 PTT 之文章。

RedHerrings

RedHerrings

從大西洋捕上來的新鮮鯡魚,以壯年的松木煙燻,再經高山岩礦醃漬,直到表面出現紅色花紋。獵戶們會利用燻鯡魚的陣陣香氣,將其散落在森林當中,訓練獵犬避開鯡魚的香氣,正確捕捉獵物的行蹤。