賽局奪魂鋸

賽局理論納許均衡

一覺醒來,你突然發現自己身在一間水泥房中,手腳被鐵鎖固定在椅子上。你一邊開始掙扎,一邊看到前方有一個老舊的電視螢幕,後面還有一大片厚玻璃,對面也坐著一個綁在鐵椅上的人。透過這片玻璃,你可以看到他的椅子上正裝設著跟你類似的裝備:雙手和雙腿前方、以及脖子上各架了一台鏈鋸,隨時能下刀鋸下所有東西。你們的雙腳也各被一個上面有玻璃蓋的鐵箱覆蓋,左右腳底下各有一個按鈕。你深怕按了之後鋸子就會馬上揮下,因此不敢亂動。

這時,電視螢幕突然映出一個戴著恐怖面具的人影。

I want to play a game.

痛苦的策略集合

你和你對面的同伴要同時做出選擇。你們腳下有兩個按鈕,左腳底下是紅色的按鈕,右腳底下是綠色的按鈕。你們必須獨自作出選擇,同時也看不到對方的選擇。但你們的生命跟對方緊緊相依。如果你們兩個同時按下綠色的按鈕,你們只會被砍斷雙手就能離開;如果你們同時按下紅色的按鈕,你們則會被砍斷雙手和雙腳。但如果你們一人按下紅色,一人按下綠色,按下綠色的那個人將會斷頭,按紅色的人則能安全離開。你們必須在兩分鐘之內做出選擇。你們也不能和對方討論。如果違反規則或是超過時間,你們的頭和身體也會馬上分家。 現在,作出你們的決定吧。

螢幕畫面隨即消失,鏈鋸開始高速轉動。你雖仍處在驚慌失措中,但性命交關,你不得不冷靜下來思考一下,你到底要使用如何的 策略(strategy) 才能度過這次難關。因為你現在被綁在鐵椅上,能夠選擇的策略實在不多。你左思右想,發現自己只有三種選擇。

S = { 紅色 , 綠色 , 發呆 }

你看著玻璃對面的那個人也正在努力扭動身體,看來他的 策略集合 裡面的東西也只有這三個。

殘酷的報酬表

被緊縛的身體逼使你要繼續動腦思考。首先,我們應該可以刪掉 發呆 這個選項,因為時間到的時候,不管發生什麼事,你都會被砍頭,是一個爛死了的垃圾策略;不知為何,劣勢策略 (dominated strategy) 這個詞突然浮上你的心頭。你知道你一定要在兩分鐘內做出個什麼選擇。

要按綠色還是紅色呢?紅色看起來很吸引人,因為有無傷離開的機會;但是兩個人都選綠色,似乎也是不錯的妥協(雖然需要斷手斷腳)。這是一個困難的抉擇,困難到你想要把各種情況條列下來。因為等一下要斷手斷腳還是斷頭,是由雙方的選擇同時決定,扣除掉 發呆 這個雙方都不會選的選項之後,你把選擇和結果列成幾條:

我的策略 對方的策略 我的報酬 對方的報酬
綠色 綠色 斷手 斷手
綠色 紅色 斷頭 沒事!
紅色 綠色 沒事! 斷頭
紅色 紅色 斷手+斷腳 斷手+斷腳

想到 報酬 (payoff) 這兩個字的時候,雖然不知道為什麼頭痛了一下,卻覺得這是再合理不過的詞彙了。你看了看這張表,雖然是挺清楚,但有點不方便思考。你突然覺得好像應該用另外一張表來重寫一下。

對方的選擇
綠色 紅色
我的選擇 綠色 ( 斷手 , 斷手 ) ( 斷頭 , 沒事! )
紅色 ( 沒事! , 斷頭 ) ( 斷手+斷腳 , 斷手+斷腳 )

括號中前面那欄表示表示 我的報酬 ,後面那欄表示 對方的報酬。畫好表格,時間也過去了一分鐘,你該開始認真思考了。

恐怖平衡

整理一下這個遊戲的資訊:

遊戲玩家 (players):我、對面的人

策略集合:所有人都是 S = { 紅色 , 綠色 , 發呆 }

報酬:如上表所示

有了這些資訊,能不能做出這個痛苦的決定呢?首先你考慮一下這些報酬。雖然裡面每一個選項都很慘,不過斷手斷腳總比斷頭好;如果能不斷腳自然又是更好;但最好的狀況當然是安全脫身。這件事情對方也是一樣的。

你開始沙盤推演各種回應情況:如果對方按綠色,那你應該就要按紅色,因為可以無傷脫身不用斷手;如果對方按紅色,你也應該要按紅色,免得送命。你突然發現,選紅色好像是一個比較有優勢的 優勢策略 (dominant strategy) 。

太好了,這下說不定可以安全脫身了。但你又開始思考:對方有跟你一模一樣的報酬矩陣。當你選紅色的時候,對方當然不會按綠色自己送頭,所以也會跟你一起選紅色。選紅色對於雙方來說,互相都是最佳回應 (mutually best response)。也就是說,沒有人有改變選項 (deviate) 的誘因。你抬頭和玻璃對面那人相視,終於發現遊戲設計者的殘忍用意:你們兩個人都會按下血紅色的按鈕,砍斷自己的雙手雙腳……

你們勉強給對方一個微笑,一起按下紅色按鈕,鋸子開始往你的雙手雙腳靠近,你的腦中快速閃過賽局理論老師的面孔,和他在課堂中講述的沒人聽得懂的定義。

「如果一個策略組合 \( (s_1 , s_2 , \dots , s_i , \dots , s_n) \) 中的策略 \( s_i \) 對於所有玩家 \( i \) 都是最佳回應,此時玩家沒有改變選項的誘因。這個策略組合,我們可以將它稱為——」

納許均衡 !Nash equilibrium!」電鋸將你的骨粉噴得到處都是的同時,你的嘴裡也大聲喊出這個名詞。

Do you want to play one more game?

電視打開。

下一個遊戲,是一個簡單的遊戲。 你和你的夥伴,你們可以決定要刺瞎左眼或是右眼。兩邊是連動的。如果你們同時選擇左眼,那麼你們就都只會被刺瞎左眼;右邊亦同。只是,如果你們一個選左邊,一個選右邊,兩邊的機器就會同時啟動,將你們的雙眼刺瞎。 現在,作出你們的選擇吧……

喔對了,在你們開始作選擇之前,還要提醒你們一下,記得把這個遊戲的基本元素:玩家、策略組合、報酬都寫清楚。

另外,你會發現,這個遊戲可能沒有這麼容易預測結果……會不會有超過一個互為最佳回應的策略組合呢?

電視中人物聲音驟變。當這個熟悉的聲音拿下面罩後,你瞪大了眼睛——

<賽局奪魂鋸2。to be continued......>

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RedHerrings

RedHerrings

從大西洋捕上來的新鮮鯡魚,以壯年的松木煙燻,再經高山岩礦醃漬,直到表面出現紅色花紋。獵戶們會利用燻鯡魚的陣陣香氣,將其散落在森林當中,訓練獵犬避開鯡魚的香氣,正確捕捉獵物的行蹤。