買票新民主

政治經濟學機制設計
白經濟曾經探討公共選擇的各種難題。其中我們大抵認同民主機制是眾多無奈中的一個好辦法。但一人一票的民主真的有這麼好嗎?芝加哥大學的經濟學家 Glen Weyl 告訴我們,像公司董事會一樣,每個人抱現金換選票,一票一票「買」出來的「新民主」或許才是公共決策未來的希望。

為什麼我們需要新解方?

在討論買票這黑暗兵法之前,我們先來看看現在一人一票的多數決有什麼問題?

  • 無法反映意見的強度

想像在之前台灣多次舉行的博弈公投。一個人進了投票所,他可能從小因為家裡長輩嗜賭成性,傾家蕩產,連小學都沒有唸完就要輟學打工貼補家用。像這樣一位恨賭博入骨,願意投注畢生精力反賭的他,只有一票。而剛剛順路走進投票所,目瞅花花連票都蓋錯的隔壁老王,也同樣是一票。

這一個缺點我們在先前的文章也有討論。1針對最近美國共和黨初選,Trump 跌破眾人眼鏡拿下提名,哈佛的諾貝爾獎得主 Maskin 和 Sen 也寫文章 解釋這是偏好強度沒有被反映在選票上的結果。

  • 多數暴力的威脅和少數群體的權利

這和前一點其實息息相關。實際上的例子還有:都市更新怎樣才會通過?有人的祖厝或龍脈就在那裡,我們能不能用投票的方式決議拆掉他的財產?還有多元成家的法案。為什麼 LGBT 族群要結婚還需要等到「社會有共識」才能進行?這都是同樣的問題:多數的一方,儘管這些權益往往和他們並不切身相關,或影響沒有那麼大,但他們一票一票就是會贏。


針對這兩個問題,過去有什麼樣的解法嗎?

以預防多數暴力來說,最古早的解法就是改用鼓掌或者歡呼的方式議決。想像一下在決定更換某重要人選的全國代表會,在大家裝個苦瓜臉呼籲要團結的時候,只有一半的人鼓掌要求通過。鼓掌或歡呼其實是一種廣義的絕對多數,如果同意的人只有一半多一點,主席要硬著頭皮通過也是很難看。為了解決這個問題我們也發展出共識決或者三分之二、四分之三這樣的多數要求。

但「絕對多數」的標準是什麼?三分之二、四分之三?這其實是非常隨意的標準。為什麼不要 68.9426 % 作為標準?或者取個吉祥的 88.888% 作為通過的準則?另外絕對多數的缺點就是許多提案難以進行。想像臺灣現在的鳥籠公投或者罷免門檻,事實上就是有這樣的效果。

關於反映意見強度,最簡單的辦法是讓每個人可以投不止一張票,例如你可以到中選會先去用一定的價格買一些票,最後投票的時候,票數多的獲勝,只是現在每個人可以投的票數不一樣了。這在企業選董事長的時候其實就是用這樣的方式。每位股東並不是算人頭而是算股份,也就是你買了越多股份就可以投越多票。若真的很想在董事會通過某項決議,你就可以買很多張股票參與。

這種決策機制的缺點顯而易見。如果應用在民主上面,整個國家都給有錢人玩就算了。他們大可以把財產都拿來買票,決議所有人把錢通通給分給有錢人。(題外話:有沒有覺得似曾相似?臺灣的高等教育現在差不多就是這樣玩的,有錢人給小孩補習,請最好的家教。最後到臺大、陽明唸書,以後每年從全體納稅人那裡拿 40 萬、 46 萬回來。)

撇開有錢沒錢的問題來談,就算單單講大家最喜歡討論的,功利主義下假設可以簡單加總的效率性,普通的買票機制也無法保證。這裡舉一個例子來說明,文末我們也繪製了一列圖表講解這些規則。假設今天蓋核電廠對每個小藍值 500 元,對每個小綠造成 50 元的成本。今天有 9.2 萬個小藍和 689 萬個小綠。2 假設今天規則是大家可以用一塊錢買一張票,每個人可以買的票沒有上限。假設小藍想說,他每投一張票可以影響最後結果的機率是 1 %,每多買一張票對他來說的價值是 500 * 1 % = 5 元。

每張票一塊錢對他來說太划算了,他會願意一直買,買到他覺得已經確定會贏下這場選舉為止。例如每張多帶來 1 %,他就花 100 元買下 100 %,然後贏得選舉,淨賺 500 - 100 = 400 元。今天假設小綠同樣認為每投一張票影響結果的機率是 1 %,但是他這樣得到的好處是 50 * 1% = 0.5元,怎樣都不划算,所以小綠們就不會投票了。到最後我們看到儘管 9.2 * 500 < 689 * 50,小藍還是會贏得選舉。儘管是 9.2 和 689 的戰爭,儘管他們對核電廠的價值只差了 10 倍,最後還是由小藍勝出!(注意這裡就算是 1 個小藍對上 14 億個小綠,小綠也是會輸噢)3

我們仔細想想前一個例子出了什麼問題。首先是小綠們都想搭便車。對每一個個人來說,買任何一張票的確都不划算,但是如果有這麼一些人願意買個幾張票的話,小綠綠們都會更開心。對那些掏錢買個一張兩張票的人來說,最後的淨價值也不會讓他吃虧。換句話說,大家在買票的時候,不會顧慮到自己投票影響結果,對其他人造成的外部性。小藍不會考慮因為他多投這一張票,對其他人造成什麼樣的影響。


解法是什麼?

我們在開頭提到的 Glen Weyl 想到這裡眉頭一皺,發展出一套「平方買票」的辦法。(Quadratic Voting,以下簡稱 QV )平方買票的規則非常簡單:一樣照人頭買票,不過每個人付的費用和他買的票數呈現平方的關係。最後把大家買票收到的錢,算人頭平分回去。

舉個例子來說,如果小藍想買 1 張票,他一樣要花 1 元,但是如果他要買 2 張票,他要花 4 元,3 張票 9 元,以此類推。照他之前那樣買 100 張票的話,他要花 1 萬塊才能夠辦到。假設中選會最後就收到這 1 萬塊,那就把 10,000 除以 689 + 9.2,把剩下的錢分回去,沒有買票的人可以拿到一點補償。

平方厲害在哪裡?

我們可以從下面這張表仔細算一算:小藍會想買幾張票?

表 1: 小藍想買幾張票?
總共買幾張票 買這些票總共要 多買這半張票多花了 多買半張票他多賺的
0.5 0.25 0.25 2.5
1 1 0.75 2.5
1.5 2.25 1.25 2.5
2 4 1.75 2.5
2.5 6.25 2.25 2.5
3 9 2.75 2.5

我們現在假設在買票不一定要買一張,大家也可以半張半張買。在最單純的買票的情形下,小綠們還是半張都不會買,因為 50 * 1% * 0.5 = 0.25 < 0.5,半張都不買。但是在平方買票的情況下,可就不一樣了,我們可以清楚地看到,小綠綠們大家都願意買它個半張,而每位小藍現在只願意買 2.5 張票。在這樣的情況下,我們就會看到 689 確實在投票的過程中擊敗 9.2 。

是這套規矩特別厲害還是楚門我特別量身打造了一個適合平方買票的案例?其實這套平方買票最大魔力就在於他的「平方」的性質。我們換回整數給大家看看,我們可以看到多買一張票的成本和投下的票數大致上是成等比例關係的。

表 2: 整數版本?
總共買幾張票 買這些票總共要 多買這張票多花了 多買一張票他多賺的
1 1 1 5
2 4 3 5
3 9 5 5
4 16 7 5
5 25 9 5

為什麼這一點很重要?因為人們考量的是自己多投一張票對於整個選舉的影響是什麼,而平方買票的設計讓每個人多造成的影響等同於他每多買一張票要付出的成本。用經濟學的術語來說,每個人都在邊際上考慮,他多投那一票造成的影響力(邊際效益)等於多投一票的成本(邊際成本),這就是讓「外部性內部化」,也是 QV 有效率的原因。4 5

撇開背後這個抽象的道理,其實直觀上平方買票是在努力平衡: 1. 多數決中被抹去的偏好強度。
2. 上述只要有一個人偏好夠強就擊敗所有人的投票方法。6

在這個制度下,今天就算多數人不站在你這一方,但是他們對於這件事偏好不是特別強烈(例如:多元成家法案),真的投票的時候,多數人買的票很有可能會比這少數人的票加起來的少。另外的,就算有一個人極度想要影響整個大選的結果,因為平方的關係,他最後的花費會非常、非常驚人。假設今天車輪黨的站哥要大撒 100 億買下鬼島島主一職,在一般的買票情況下,整座島兩千多萬人口一人一票都買不贏他。但是在平方買票下,站哥這 100 億很遺憾地只能買下十萬張票。正所謂十萬青年十萬軍,十萬人一人一票就買贏他了。


當然大家可以想像,儘管是平方買票看起來這麼厲害的制度,一定會受到很多挑戰,例如:

  • 大家會不會互相勾結便宜地買票?

這的確有可能。想像今天站哥可能會把 100 億分給他信任的方姐、老王、小魚、小熊、小久......等等,假設他分給 100 個人每個人 1 億去投票,他就可以從原本的買 10 萬票,變成買總共買 100 萬票。但你應該看到勾結這件事情內在的困難:你怎麼知道小久拿了 1 億以後會不會乖乖聽你的話去投 1 億?在開票的時候選票上面也沒有寫這些票是誰買的。尤其是當你要買的票越多的時候,這個勾結失敗的機率就越高。

  • 最後會不會變成有錢人都把票買光了,所有的政策都受到有錢人決定?

的確,如果我們今天是拿新台幣來買票,那有錢人的確有較大的影響力。但首先,在一般選舉的情況下,各方都或多或少有有錢人的支持。;再者,平方的特性讓有錢人也很難施展手腳。在前面那個例子裡面,就算是富可敵國的 100 億灑下去,也只是多買你 10 萬張票。有多少人可以拿出 100 億這樣撒。7

再者,如果你今天對這個議題沒有強烈的意見,或者你買了幾票但最後輸了。但因為我們在投票的過程會搜集到一些金錢,最後是除一除發回去的,你還是可以獲得一些補償。再說回來,就算現在是用一票一票的方式投,有錢人還是一樣透過媒體、廣告,甚至賄選這樣大量資源的投注,有效地影響選舉的結果。如果是用平方買票的方式,可以讓他們花費更多,而且就算有花費最後還會轉過頭來除一除分給全體公民。

如果說了這麼多你還是認為拿錢來買票不太舒服,我們或許也可以在每位公民 20 歲的時候發一定數額、不可轉讓的「選舉幣」。每過幾年就多發一些新的「選舉幣」。這些選票不規定要在一次選舉中用完,大家可以花在公投、地方、中央各種公職選舉,並且依照平方買票的精神在大選的時候把「選舉幣」換成選票。這樣既可保留平方買票的好處,又可以避免現金交易的各種爭議。

經濟學家常被批評只會點出問題,但對於問題一點辦法都沒有,只會不食人間煙火在那裡玄談。平方買票的發明除了是理論上重大的突破外,他對實際解決問題也有很多啟示。發明這套方法的 Weyl 就和芝大法律系的 Eric Posner 一起開了一間公司推廣他們的平方買票系統。8 他們先從私人企業的董事會開始推廣,協助企業用這套方法增進決策的品質,同時可以讓這一套方法更廣為人知。

平方買票或許也不是完全理想的方式,但我們在評估一項政策提案的時候,應該要跟現有的或可能的選項比較,而不是不公平地用一種理想來和一個實際的方法來較量。何妨嘗試這種新的方法?


平方買票圖例:


參考文獻:

Glen Weyl 與 Eric Posner 對 QV 的介紹

  1. 這是我們丟掉喜好排序,每個人只看第一點的結果。

  2. 這個例子是跟 Eric Posner 與 Glen Weyl 借來的。當然,9.2、689、500、14 億這些數字相信各位都比楚門有創意。

  3. 我這裡假設大家認為自己是「決定命運的那一票」的機率都是 1 %。我們稱這個機率為你是 Pivotal Voter 的機率。這個數字遠大於大部分民主投票的實際情形。大家可能也會想,每個人已經投了多少票,對於自己接下來是 Pivotal Voter 的機率可能會有影響。Glen Weyl 證明在 QV 的情況下,只要人夠多,這個機率大概可以想成是個常數,例如這裡的 1 %。

  4. 平方在這裡扮演的角色就是取導數之後是線性的,所以會有邊際成本是投票數的線性函數這樣理想的性質。

  5. 在可以買的票數是連續的情況下,只要參與的人數夠多,我們可以確保在一般的選舉裡面 QV 都可以給出十分有效率的配置。我們在這裡指的效率性是假設每個人的好處壞處可以簡單加總,在功利主義下的極大化最大多數人最大福祉的效率性。

  6. 假設你要投 v 張票要付出 v 的 x 次方的價格。平方買票就是 x = 2 的情形。x = 1 則上述最簡單的買票情況, x 趨近無窮大則是一人買一票的多數決。

  7. 何況 2000 年的時候第三名可是輸了兩百多萬票呢,這種戰鬥力恐怕是 10 個車輪黨黨產都救不回來的。

  8. 正所謂虎父無犬子,這位 Eric 就是 Richard Posner 的兒子。

楚門

楚門

If his was more than just a vague ambition, if he was absolutely determined to discover the truth, there is no way we could prevent him. 如果他有貫徹追尋真理的決心,我們沒有任何辦法阻止他。