踢左邊還是踢右邊?球員的終極策略

賽局理論納許均衡混合策略均衡

四年一度世界盃再度開踢!就算在我們四年球迷的眼中,罰球中攻守雙方的對決,也是最令人心臟直跳的緊張時刻。從球員起腳到球進球門只有半秒,根本來不及讓守門員反應,因此守門員只能猜測到底該往哪邊跳(所以才會看到守門員跳到完全相反的那一邊)。到底守門員應該要怎麼猜呢?Chiappori、Levitt和Groseclose等人2002年在《美國經濟評論》上發表的研究便用法國與義大利甲級聯賽的錄影資料,驗證了球員在罰球對決中的攻守策略!

現在假設你站在罰球線前,守門員站在球門正中間。你有什麼選擇呢?大致上不脫:「左、中、右」三種。假如你面對的不是真人守門員,而是一個只會守右邊的假人。這時你的策略就很簡單:不管怎樣往左邊踢就對了。對方的西瓜教練看大勢不妙,趕快把假人轉180度,讓他嚴密守住左邊。但這也擋不下你凌厲的攻勢──因為你只要改成一直踢右邊就行了。因此,在罰球中,不會有一個雙方老是跳同一邊的策略,而是需要隨機靈活變動。

不過隨機要多隨機才好呢?如果對方教練換下剛剛的假人,換成一個偵測到球要踢的時候,就會先丟一個硬幣決定跳左還是跳右的機器人。這時候你身為專業的足球選手,難道也該丟硬幣應對嗎?其實不對。因為你知道你是右撇子,你的黃金右腳踢進球門左側,進球機率比起踢中間或右邊高出許多。既然對方守左守右的機率一樣,那麼你當然要踢左側,進球的機會才高。

西瓜教練發現這招cost down行不通,總算還是換上高薪聘來的專業守門員。身為一個專業的守門員,他知道面前每一個足球選手的強腳,也知道過去他們擅長踢哪一邊。因此,他把往左的機率略略調高。但是也不能太高──當攻擊方知道守門員太喜歡偏左,右邊的防守空洞又會讓攻擊方往右邊射變得更有利。

因此,對於守門員來說,他要做到的最好策略,就是讓攻擊方不管打哪一邊,進球數的期望值都一樣:沒有死角!攻擊方的策略也是類似的:他不能讓守門員發現守哪一邊絕對比較好,因此也會好好調配機率,使得守門員不管怎麼守,守住的機率都一樣。像這樣雙方在自己可以選擇的幾個策略間,用特定的機率值決定最後出現哪個策略的決策方式,我們將他稱為混合策略 (mixed strategy)。而使雙方相互之間都不會想要改變事先所設定的混合策略的平衡狀態,就叫做混合策略均衡 (mixed strategy Nash equilibrium)。

但是在球場上,球員既不會帶扳手,也不會帶骰子,那要怎麼驗證球員是不是真的如此神機妙算地在使用混合策略均衡呢?其實很簡單,我們只要看看在過去的資料中,跳左跳右能不能「解釋」發球的左右就行了。如果我們發現球員跳左邊多一點,會使得球員多發右邊,那就表示守門員並沒有在用混合策略;但如果跳左跳右跟球員踢左踢右找不到什麼相關,那就表示雙方真的是用混合策略互相交鋒,找不到對方的弱點。以研究者們所觀察的三百多場球賽而言,確實沒有發現踢左踢右與守左守右的相關,反而是這些發球的球員會大多發向自己擅長的那一邊。從這個證據,我們可以說這些球員可能真的會計算對手的球路,來安排最佳策略。

過去有人使用過網球(正/反手發球)的資料來驗證運動員的混合策略均衡,也得到相當類似的結果。看來要成為一個專業的運動員,不只體能訓練和身體要保持在最佳狀態,時不時還是該去學一點賽局吧!

※本文原刊載於《週刊編集 The Affairs

RedHerrings

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從大西洋捕上來的新鮮鯡魚,以壯年的松木煙燻,再經高山岩礦醃漬,直到表面出現紅色花紋。獵戶們會利用燻鯡魚的陣陣香氣,將其散落在森林當中,訓練獵犬避開鯡魚的香氣,正確捕捉獵物的行蹤。