資產訂價 101 - 套利與訂價 (1)

資產訂價財務套利

Nowadays people know the price of everything and the value of nothing. -Oscar Wilde

打開電視台轉到 90 幾頻道,隨時都可以看到各式各樣的「老師們」教導觀眾如何在股海中生存。電視機前的你一定懷疑過:「啊你這麼神,怎麼不自己賺就好了?」同樣的,在商學院教書的教授們也時常必須面對這樣的質疑。究竟,研究財務金融的經濟學家們葫蘆裡賣的是什麼藥呢?

學院派的財務金融大致上分兩個方向:公司金融 (Corporate Finance) 以及資產訂價 (Asset Pricing)。前者研究的是企業的金融決策,例如投資案的評估、各種融資手段的選擇、還有經理人問題等等。而今天要介紹的後者研究的主題則是金融商品的評價。


Everything's got a price.

─《捍衛任務》

讀到這裡,你心裡可能會這樣想:「等等,我才不在乎什麼理論價格呢!就算你那些漂亮的數學式子算出宏達電現在一股70幾塊是嚴重被低估,我還是連出50塊買宏達電的股票都不願意。說到底,價值不就是一種主觀判斷嗎?」關於這個疑問的答案,金融學界有一個與之對應的笑話。人們常說,要讓一隻鸚鵡變成經濟學家是非常容易的事,只要教會牠如何說需求 (Demand)供給 (Supply) 這兩個字就好了。但要讓一隻鸚鵡變成金融學家更是容易,只要教會牠說一個神奇的字眼就行了。那個字就是套利 (Arbitrage)

套利的概念在金融學裡常用免費的午餐 (Free Lunch) 或印鈔機器 (Money Machine) 解釋,它代表的是一種不需要付出便能無風險無止盡得到報償機會。當同樣的商品卻同時存在不同價格時,套利機會就會出現,套利的過程也會迅速弭平這個價差。因此學理地說,無套利條件 (No Arbitrage Condition) 就可以保證金融商品存在唯一的價格。1


I can calculate the motion of heavenly bodies, but not the madness of people.

─Isaac Newton

進一步解釋前,讓我們回歸一個更本質的問題:金融商品到底是什麼?我在 Comebuy 買的海神奶茶是一種商品,我課金買了 Pokémon Go 的孵蛋器也是一種商品,那麼所謂的金融商品跟上述的商品有何差別呢?一言以蔽之,金融商品就是未來現金流的某種保證 (Claim)。政府公債會依照約定的利率發放利息,期貨也會在到期的時間點讓你依照事先約定好的價格買進特定商品或賣出該商品換取現金。因此債和期貨毫無疑問是金融商品。

圖片來源:Ted Wang

那麼股票呢?股票保證了我們什麼呢?為了探討變動的價格,金融學家引進了另一個概念:狀態 (State)。狀態就是各種可能發生的未來。讓我們回到第一代 iPhone 上市前夕的 2006 年底玩個角色扮演。想像我們是當時的分析師,面對這個新奇的產品,我們預想了 3 種可能的狀態:

  1. 悲觀的狀態─iPhone 賣得很慘,人們完全不接受這種只有一個實體按鍵的詭異手機;
  2. 持平的狀態─銷量普普通通,使用者們覺得 iPhone 是個有點怪但還算新鮮的點子;
  3. 極度樂觀的狀態─iPhone 瘋狂熱賣,不只成為蘋果有史以來最成功的商品,還徹底改變人們對手機的定義。

我們可以預期蘋果的股票價格的走向在這三種不同的狀態下會有三種不同的結果:大跌、持平、或大漲。因此,股票可以說是一種會在不同狀態下給我們不同報償 (Payoff) 的金融商品。上一段提到的債就是在各種狀態下報償都一樣的金融商品,而期貨的報償則視不同狀態下標的商品的價值而定。例如,我用一年前和農夫約定好的 100 元買到了今年可能在市場上值 120 元或 80 元的一包米,我的報償就是淨賺 20 元或淨賠 20 元。


想要得到什麼,就必須付出同等的代價。

─鋼之鍊金術師

把繁瑣的定義解釋清楚後,我們終於可以來看看怎麼透過套利來為資產做訂價。假設未來有兩種狀態(狀態一和狀態二),而這個世界上有 3 種金融商品(商品 A、商品 B、商品 C)。任何人都可以任意買賣這些商品。這 3 種金融商品分別會為持有他們的投資人帶來以下報償:2

商品 A 商品 B 商品 C
狀態一 50 30 40
狀態二 10 50 30

仔細觀察,我們可發現同時持有 A 和 B 各一單位的話就能在狀態一(二)時得到80 (60) 元的報償。這樣的報償不論在狀態一還是狀態二下,都和同時持有兩單位的 C 恰好相同。因此,根據無套利條件,C 的價格應該要等同於 A 和 B 的價格加總的一半。如果不相等,就會產生套利的機會。舉例來說,A、B、C 在市場上的價格分別是 20 元、30 元、24 元,根據上述說法,C 的價格被低估了。這時候只要買低賣高我們就能進行套利:賣 A 和 B 各一單位獲得 50 元,再花其中的 48 元買兩單位的 C。到了要清算的那個未來,不論處於狀態一還是狀態二,我們都能把從兩單位的 C 那邊得到的報償一分不差地轉移給從我們手上買得 A 和 B 的那些投資人。如此一來不管未來進入了狀態一還是狀態二,我們都確實地賺得了一開始省下來的那 2 元。既然我們能賣各一單位的 A 和 B 並買兩單位的 C,那何不賣 100 單位的 A 和 B 並買 200 單位的 C 呢?這樣操作下,剛剛無條件賺得的 2 元就會變成 200 元。假如 A、B、C 在市場上的價格永遠被固定在 20、30、24 元,我們就可以無限放大操作的尺度來賺錢。這樣的操作就是所謂的套利,名符其實的 Money Machine。

當然,商品的價格是不會永遠不變的,當大家一窩蜂的買 C 然後賣 A 和 B,原本被低估的 C 就會越來越難買得到,供需法則讓 C 的價格上漲,最後回到一個合理的均衡價格:在我們的例子裡就是 A 和 B 價格的平均。反之,如果 C 被高估,市場上的人們就會逆向操作讓 C 跌回那均衡價格。因此,套利雖然美好,但套利機會總是稍縱即逝。就像研討會上系辦訂購的免費便當總是很快就會被拿完一樣的道理。3


Show me the money.

─Starcraft密技

回到一開始的問題,商學院的教授知道這麼多理論,怎麼不自己出去賺呢?一個很直接的答案就是現行的金融市場已經變得太過龐雜。礙於資本額不足,設備不夠先進、還有法規限制,散戶能進行的操作其實是非常少的。美好的套利機會都被大型機構賺走了。但值得一提的是許多大型投資機構每年都會聘用許多剛畢業的金融學和經濟學博士來為他們修正模型和擬訂投資策略。因此,下一次上課的時候,或許該為台上的教授拍拍手,說不定他當年是滿懷理想,放棄了華爾街的工作,想要貢獻己力給學術研究和教育志業呢!

下一期我們將一起來討論資產訂價領域中最重要的一個理論─效率市場假說 (Efficient Market Hypothesis),談談人們對它的誤解以及它真正的意涵。大家也可以猜猜看上面提到稍縱即逝的套利機會一般而言究竟存在多長的時間呢?


  1. 正確的說法是無套利條件且市場完整 (Market Complete) 時金融商品會存在唯一的價格。市場完整的概念,之後介紹市場失靈或是市場微結構時會有完整的說明。

  2. 同樣的,如果我們做為賣家要向其他投資人賣這些金融商品,我們就在這兩種狀態下有義務支付投資人那個價值的報償。

  3. 文章的例子其實就是資產訂價裡二項樹模型只有一期的簡易版本。二項樹模型的設定裡,每過一期就會產生兩種不同的狀態,讀者可以想像是漲或跌兩種可能發生的情況。真實世界的未來是有著無窮可能性的。當我們把二項樹模型兩期三期,無止盡的推廣下去,狀態的數量就會趨近一個很大的數字,接近真實的情況。詳細內容可以參考 Shreve : Stochastic Calculus for Finance I, Chapter 1


首圖取自 RosieTulips

巴尼

巴尼

「這世上沒有不可思議的事,只存在可能存在之物,只發生可能發生之事。」 -《姑獲鳥之夏》